TEOREMA DEL SENO

TEOREMA DEL SENO

En trigonometría plana, el teorema de los senos¹​ o también conocido como ley de los senos²​ es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Teorema de los senos Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces: ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \,A}}={\frac {b}{\sin \,B}}={\frac {c}{\sin \,C}}}$

Resuelve el triángulo del que se conocen los datos siguientes A=67º; B=53º; a=25cm.

Rellena los espacios resolviendo el triángulo del que cononocemos el lado a=12 m. y los ángulos A= 40º y B=75º

Ajusta la medida de los lados a metros (sin decimales)

El ángulo C mide  º, el lado b mide aproximadamente  m. y el lado c aproximadamente  m.

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Gráficas de las funciones trigonométricas

Si queremos representar en forma gráfica una función trigonométrica tomamos los valores de la variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas, obteniendo así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que será la representación gráfica de la función.

Uso de la función seno: ésta se usa cuando en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto, o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el cateto  opuesto al ángulo dado.

Uso de la función coseno: si en un triángulo rectángulo conocemos un ángulo agudo y el cateto adyacente, o un ángulo agudo y la hipotenusa.

Podemos calcular el cateto adyacente al ángulo dado y la hipotenusa usando esta función.

Uso de la función tangente: si en un triángulo rectángulo conocemos un cateto y el ángulo adyacente a él podemos calcular el otro cateto.

Uso de la función cotangente: por lo tanto en todo triángulo rectángulo si conocemos un cateto y su ángulo opuesto podemos calcular el valor del otro mediante ésta.

Uso de la función secante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario que en la función coseno.

Uso de la función cosecante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario a la función seno.

CIRCUNFERENCIA UNITARIA

CIRCUNFERENCIA UNITARIA

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria, es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas, de un plano euclídeo o complejo. Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya es hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, a y b

satisfacen la ecuación:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1=}$ radio = hipotenusa. ____TEOREMA DE PITAGORAS PARA LA                                                                                CIRCUNFERENCIA UNITARIA

Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria[editar]

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo ${\displaystyle \alpha \,}$ con el eje X, las principales funciones trigonométricas se pueden representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:

El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {a}{c}}}$

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

${\displaystyle \sin(\alpha )=a\,}$

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b}{c}}}$

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

${\displaystyle \cos(\alpha )=b\,}$

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {a}{b}}}$

Principales valores de las razones trigonométricas representados como segmentos respecto de la circunferencia goniométrica.

Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica.

Por semejanza de triángulos: ${\displaystyle {\frac {AE}{AC}}={\frac {OA}{OC}}}$

como ${\displaystyle OA=1,}$ se deduce que: ${\displaystyle AE={\frac {AC}{OC}}}$

${\displaystyle \tan(\alpha )={\overline {AE}}\,}$

Funciones trigonométricas recíprocas.[editar]

La cosecante, la secante y la cotangente, son las razones trigonométricas recíprocas del seno, coseno y tangente:

${\displaystyle \csc(\alpha )={\frac {1}{\sin(\alpha )}}={\overline {OF}}}$

${\displaystyle \sec(\alpha )={\frac {1}{\cos(\alpha )}}={\overline {OE}}}$

${\displaystyle \cot(\alpha )={\frac {1}{\tan(\alpha )}}={\overline {AF}}}$

Los valores de la cotangente, la secante y la cosecante se obtienen, análogamente, mediante semejanza de triángulos.

EJEMPLO

ACTIVIDAD

Determinar las razones trigonometricas para los puntos dados en la siguiente circunferencia unitaria

ANGULOS DE ELEVACION Y DEPRESION

RETO MATEMÁTICO




ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

Ángulos de elevación y de depresión. El término ángulo de elevación denota al ángulo desde la horizontal hacia arriba a un objeto. ... El término ángulo de depresión denota al ángulo desde la horizontal hacia abajo a un objeto. Una línea de vista para el observador estaría debajo de la horizontal

ACTIVIDADES

SOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS

RETO MATEMÁTICO




SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo consiste en calcular la medida de sus tres lados y de sus tres ángulos.

Qué resultados se necesitan para poder resolver un triángulo rectángulo.

Para resolver triángulos rectángulos  tendremos en cuenta que:

• • La suma de los dos ángulos agudos es 90º.
  • La suma de dos lados siempre es mayor que el otro lado.
  • Sus lados están relacionados entre sí a través del teorema de Pitágoras:  
  • Los lados y los ángulos se relacionan entre sí a través de las definiciones de las razones trigonométricas.

Qué datos se necesitan para resolver un triángulo rectángulo

• En general, para poder resolver un triángulo necesitamos conocer como mínimo, un lado, puesto que si conociésemos los ángulos y ningún lado, tendríamos infinitos triángulos semejantes.
• En el caso de los triángulos rectángulos, ya se conoce la medida del ángulo de 90º.

Teniendo en cuenta esto, podemos encontrarnos con dos casos:

• • Si se conocen un lado y un ángulo agudo, las razones trigonométricas nos permitirán hallar los otros dos lados.
  • Si se conocen dos lados, no necesitamos conocer ningún ángulo puesto que aplicando el teorema de Pitágoras podremos hallar el tercer lado. Y a partir de los lados, se calculan las razones y con éstas, los ángulos.

Es decir, para resolver un triángulo rectángulo, se necesitan dos datos y uno de ellos ha de ser 

obligatoriamente un lado.

CASO I: Conocidos un lado y un ángulo

Utiliza la barra de navegación del siguiente applet para ver paso a paso la resolución de este caso.

En lugar de darnos como dato la hipotenusa, pueden darnos un cateto, pero el triángulo se resolverá de manera análoga. 

Utiliza la barra de navegación del siguiente applet para ver paso a paso la resolución de este caso.

CASO II: Conocidos dos lados

Utiliza la barra de navegación del siguiente applet para ver paso a paso la resolución de este caso.

También pueden darnos como datos los dos catetos, pero el triángulo se resolverá de modo análogo.

Actividad 1

Resuelve el triángulo rectángulos ABC en los siguientes casos y escribe los resultados redondeados a las décimas.

a.    Si a=5,2 cm  y B=50º entonces C=  º, b=  ,  cm y c=  ,  cm

b.    Si c=2 cm y C=25º entonces B=  º, b=  ,  cm y a=  ,  cm

c.    Si b=3 cm  y c=8,2 cm entonces a=  ,  cm , B=  ,  º y C=  ,  º

d.    Si a=6,1 cm y b=5 cm entonces c=  ,  cm, B=  ,  º y C=  ,  º

Actividad 2

Resuelve los siguientes triángulos y escribe los resultados redondeados a las décimas.

a. En T₁

    Cateto contiguo a 33,4º:  ,   cm   Cateto opuesto a 33,4º:  ,  cm   El otro ángulo agudo:  ,  º

b. En T₂

    El otro cateto:  ,  cm    La hipotenusa:  ,  cm  El otro ángulo agudo:  º

c. En T₃

   La hipotenusa:  ,  cm    Ángulo opuesto al cateto menor:   º  Ángulo opuesto al cateto mayor:   º

d. En T₄

    El otro cateto:  ,  cm  Ángulo opuesto al cateto que mide 2:  ,  º   Ángulo opuesto al otro cateto:  ,  º