CIRCUNFERENCIA UNITARIA

CIRCUNFERENCIA UNITARIA

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria, es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas, de un plano euclídeo o complejo. Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya es hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, a y b

satisfacen la ecuación:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1=}$ radio = hipotenusa. ____TEOREMA DE PITAGORAS PARA LA                                                                                CIRCUNFERENCIA UNITARIA

Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria[editar]

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo ${\displaystyle \alpha \,}$ con el eje X, las principales funciones trigonométricas se pueden representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:

El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {a}{c}}}$

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

${\displaystyle \sin(\alpha )=a\,}$

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b}{c}}}$

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

${\displaystyle \cos(\alpha )=b\,}$

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {a}{b}}}$

Principales valores de las razones trigonométricas representados como segmentos respecto de la circunferencia goniométrica.

Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica.

Por semejanza de triángulos: ${\displaystyle {\frac {AE}{AC}}={\frac {OA}{OC}}}$

como ${\displaystyle OA=1,}$ se deduce que: ${\displaystyle AE={\frac {AC}{OC}}}$

${\displaystyle \tan(\alpha )={\overline {AE}}\,}$

Funciones trigonométricas recíprocas.[editar]

La cosecante, la secante y la cotangente, son las razones trigonométricas recíprocas del seno, coseno y tangente:

${\displaystyle \csc(\alpha )={\frac {1}{\sin(\alpha )}}={\overline {OF}}}$

${\displaystyle \sec(\alpha )={\frac {1}{\cos(\alpha )}}={\overline {OE}}}$

${\displaystyle \cot(\alpha )={\frac {1}{\tan(\alpha )}}={\overline {AF}}}$

Los valores de la cotangente, la secante y la cosecante se obtienen, análogamente, mediante semejanza de triángulos.

EJEMPLO

ACTIVIDAD

Determinar las razones trigonometricas para los puntos dados en la siguiente circunferencia unitaria